1. Graphene like

1. 先计算石墨烯的基本模型，二次量子化紧束缚模型最近邻跃迁
2. 加入次近邻跃迁，不需要磁场也能打破时间反演对称性，得到Haldane模型(Anomalous Quantum Hall effect)
3. Haldane模型通过打破时间反演对称性得到非平庸拓扑态，现在我们想保留时间反演对称性下找到非平庸的拓扑态。有一种方法是把两个Haldane模型叠加在一起，得到了Kane-Mele模型(Spin Quantum Hall effect)

2. Tight-Binding Approximation for graphene

图中绿色的向量 $\vec{v}_{1}$ 和 $\vec{v}_{2}$. 作为基底，其他晶格上的原子可以用 $m \vec{v}_{1}+n \vec{v}_{2}$ 表示

• $\vec{v}_{1}=(\sqrt{3} a, 0)$
• $\vec{v}_{2}=(-\sqrt{3} / 2 a, 3 / 2 a)$.

每个单位元胞有两种子晶格

• $a$ 红色表示
• $b$ 黑色表示

只考虑最近邻跃迁(nearest-neighbor (NN))，哈密顿量可以写成 $H=-t \sum_{i, j } a_{i}^{\dagger} b_{j}-t \sum_{i, j } b_{i}^{\dagger} a_{j}$ 对于一个晶格，跃迁出去的有三种

1. 沿着x轴旋转 $\theta=\pi / 2,$ $\vec{e}_{1}=(0, a)$
2. 沿着x轴旋转 $\theta=\pi / 2+2 \pi / 3=7 \pi / 6$，$\vec{e}_{2}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} a,-\frac{a}{2}\right)$
3. 沿着x轴旋转 $\theta=\pi / 2+4 \pi / 3=11 \pi / 6,$ $\vec{e}_{3}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2} a,-\frac{a}{2}\right)$

哈密顿量可以具体写成 $H=-t \sum_{i}^{t} b_{r_{i}+{e}_{1}}-t \sum_{i} b_{r_{i}-e_{2}}-t \sum_{a_{r}^{+}}^{+} b_{r_{i}+ {e}_{3}}+h . c$

2.1. 动量空间

傅里叶变换到动量空间 $\begin{aligned} &a_{k}=\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{i} a_{i} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}\\ &a_{i}=\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k} a_{k} e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}}\\ &b_{k}=\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{i} a_{i} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}\\ &b_{i}=\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k} a_{k} e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}} \end{aligned}$ 第一项变成 $\begin{aligned} -t \sum_{i} a_{r_{i}}^{\dagger} b_{r_{i}+e_{1}}&=-\frac{t}{N} \sum_{i} \sum_{k} \sum_{k^{\prime}} a_{k}^{\dagger} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}_{i}} b_{k^{\prime}} e^{-i \vec{k} \cdot\left(\vec{r}_{i}+\vec{e}_{1}\right)} \\&=-t \sum_{k} \sum_{k^{\prime}} a_{k}^{\dagger} b_{k^{\prime}} e^{-i \vec{k} \cdot \overrightarrow{e_{1}}} \frac{1}{N} \sum_{i} e^{i\left(\vec{k}-\vec{k}^{\prime}\right) \vec{r}_{i}} \\&=-t \sum_{k} \sum_{k^{\prime}} a_{k}^{\dagger} b_{k^{\prime}} e^{-i \vec{k} \cdot \overrightarrow{e_{1}}} \delta_{k, k^{\prime}} \\&=-t \sum_{k} a_{k}^{\dagger} b_{k} e^{-i \vec{k} \cdot \overrightarrow{e_{1}}} \end{aligned}$ 类似的，计算另外两项 $\begin{aligned} H&=-t \sum_{i} a_{r_{i}}^{\dagger} b_{r_{i}+e_{1}}-t \sum_{i} a_{r_{i}}^{\dagger} b_{r_{i}+e_{2}}-t \sum_{i} a_{r_{i}}^{\dagger} b_{r_{i}+e_{3}}+h . c . \\ &=-t \sum_{k} a_{k}^{\dagger} b_{k}\left(e^{-i \vec{k} \cdot \overrightarrow{e_{1}}}+e^{-i \vec{k} \cdot \overrightarrow{e_{2}}}+e^{-i \vec{k} \cdot \overrightarrow{e_{3}}}\right)-t \sum_{k} b_{k}^{\dagger} a_{k}\left(e^{i \vec{k} \cdot \overrightarrow{e_{1}}}+e^{i \vec{k} \cdot \overrightarrow{e_{2}}}+e^{i \vec{k} \cdot \overrightarrow{e_{3}}}\right) \\ &=\sum_{k}\left(\begin{array}{ccc} a_{k} \dagger & b_{k}^{\dagger} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 0 & \mathcal{H}_{12}(\vec{k}) \\ \mathcal{H}_{21}(\vec{k}) & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} a_{k} \\ b_{k} \end{array}\right) \end{aligned}$ 其中 $\begin{aligned} &\mathcal{H}_{12}(\vec{k})=-t\left[\exp \left(-i \vec{k} \cdot \vec{e}_{1}\right)+\exp \left(-i \vec{k} \cdot \vec{e}_{2}\right)+\exp \left(-i \vec{k} \cdot \vec{e}_{3}\right)\right)\\ &\mathcal{H}_{21}(\vec{k})=\mathcal{H}_{12}(\vec{k})^{*}=-t\left[\exp \left(i \vec{k} \cdot \vec{e}_{1}\right)+\exp \left(i \vec{k} \cdot \vec{e}_{2}\right)+\exp \left(i \vec{k} \cdot \vec{e}_{3}\right)\right] \end{aligned}$

矩阵 $\mathcal{H}(\vec{k})=\left(\begin{array}{cc} 0 & \mathcal{H}_{12}(\vec{k}) \\ \mathcal{H}_{21}(\vec{k}) & 0 \end{array}\right)$ 本征值 $\begin{aligned} \epsilon_{\pm}(\vec{k})=&\pm\left|\mathcal{H}_{12}(\vec{k})\right| \\=&\pm|t| \sqrt{3+2 \cos \left(\sqrt{3} k_{x} a\right)+4 \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} k_{x} a\right) \cos \left(\frac{3}{2} k_{y} a\right)} \end{aligned}$

2.2. 闭合点

色散 $\epsilon_{\pm}$ 是 $\vec{k}$ 空间的周期性函数。

• 低带 $\epsilon_{-}$ 的最小值在 $k=0$.
• 低带 $\epsilon_{-}$ 的最大值在布里渊区的六角晶格的角上。

六角晶格有六个角，但是

1. $\theta=0$，$\theta=2 \pi / 3$ ，$\theta=4 \pi / 3$ 三个点是等价的点
2. $\theta=\pi$，$\theta=\pi+2 \pi / 3$ ，$\theta=\pi+4 \pi / 3$ 三个点是等价的点

分别标记为 $\begin{aligned} K&=\left(\frac{4 \pi}{3 \sqrt{3} a}, 0\right)\\ K^{\prime}&=\left(-\frac{4 \pi}{3 \sqrt{3} a}, 0\right) \end{aligned}$ 在这些点上， $\epsilon_{+}=\epsilon_{-}=0$ $\begin{aligned} \epsilon_{\pm}(\vec{K}) &=\pm\left|\mathcal{H}_{12}(\vec{K})\right|=\pm|t| \sqrt{3+2 \cos \left(\sqrt{3} k_{x} a\right)+4 \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} k_{x} a\right) \cos \left(\frac{3}{2} k_{y} a\right)} \\&= \pm |t| \sqrt{\left(3+2 \cos \left(\sqrt{3} \frac{4 \pi}{3 \sqrt{3} a} a\right)+4 \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{4 \pi}{3 \sqrt{3} a}\right) \cos \left(\frac{3}{2} \times 0\right)\right)} \\&= \pm|t| \sqrt{3+2 \cos \left(\frac{4 \pi}{3}\right)+4 \cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)} \\&=\pm|t| \sqrt{3+2 \times\left(-\frac{1}{2}\right)+4 \times\left(-\frac{1}{2}\right)} \\&=\sqrt{3-3}=0 \end{aligned}$ 所以两个能带在这六个点上相交

2.3. Dirac 点

在 $\mathrm{K}$ 和 $\mathrm{K}^{\prime}$ 点上，对色散线性化 $\epsilon_{\pm} \propto \pm(k-K) .$ $\begin{aligned} \epsilon_{\pm}(\vec{k}) &=\epsilon_{\pm}(\vec{K}+\vec{q}) \\ &=\pm|t| \sqrt{\left(3+2 \cos \left[\sqrt{3}\left(\frac{4 \pi}{3 \sqrt{3} a}+q_{x}\right) a\right]+4 \cos \left[\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{4 \pi}{3 \sqrt{3} a}+q_{x}\right) a\right] \cos \left(\frac{3}{2} q_{y} a\right)\right)} \\ & =\pm \frac{3}{2}|t| a \sqrt{q_{x}^{2}+q_{y}^{2}}+O\left(q^{2}\right)\\ &=\pm \frac{3}{2}|t| a q+O\left(q^{2}\right) \end{aligned}$

画出图像

在 $\mathrm{K}$ 点附近 $\begin{aligned} \mathcal{H}(k)&=\mathcal{H}(K+q)\\ &=\frac{3}{2} t a\left(\begin{array}{cc} 0 & q_{x}-i q_{y} \\ q_{x}+i q_{y} & 0 \end{array}\right)+O\left(q^{2}\right) \approx \frac{3}{2} t a\left(q_{x} \sigma_{x}+q_{y} \sigma_{y}\right)\\ &=c \vec{q} \cdot \vec{\sigma} \end{aligned}$ 在 $\mathrm{K}^{\prime}$ 点附近 $\begin{aligned} \mathcal{H}(k)&=\mathcal{H}\left(K^{\prime}+q\right)\\ &=-\frac{3}{2} \operatorname{ta}\left(\begin{array}{cc} 0 & q_{x}+i q_{y} \\ q_{x}-i q_{y} & 0 \end{array}\right)+O\left(q^{2}\right) \\ &\approx-\frac{3}{2} \operatorname{ta}\left(q_{x} \sigma_{x}-q_{y} \sigma_{y}\right)\\ &=-c \vec{q} \cdot\left(\sigma_{x} \vec{\sigma} \sigma_{x}\right) \end{aligned}$ 其中 c 是光速

1. 每个 $\mathrm{K}$ 或 $\mathrm{K}^{\prime}$ 点是一个外尔费米子
2. $\mathrm{K}$ 和 $\mathrm{K}^{\prime}$ 两个外尔费米子，有不同的手征，合成一个狄拉克费米子

符合狄拉克方程 $i \partial_{t} \psi=\left(\begin{array}{cc} 0 & c \vec{q} \cdot \vec{\sigma} \\ c \vec{q} \cdot \vec{\sigma} & 0 \end{array}\right) \psi$