1. Kane-Mele model

我们在跃迁项加一个下标 α,β=↑,↓\alpha, \beta=\uparrow, \downarrow 表示自旋 HTB=t1∑⟨i,j⟩Ci†Cj⟶t1∑<i,j>,αCi,α†Cj,α H_{T B}=t_{1} \sum_{\langle i, j\rangle} C_{i}^{\dagger} C_{j} \longrightarrow t_{1} \sum_{<i, j>, \alpha} C_{i, \alpha}^{\dagger} C_{j, \alpha} 对于不同的子晶格

  • 子晶格A的质量项 mˉi=m\bar{m}^{i}=m
  • 子晶格B的质量项 mˉi=−m\bar{m}^{i}=-m

所以质量项变为 Hm=∑imˉiCi†Ci⟶∑i,αmˉiCi,α†Ci,α H_{m}=\sum_{i} \bar{m}^{i} C_{i}^{\dagger} C_{i} \longrightarrow \sum_{i, \alpha} \bar{m}^{i} C_{i, \alpha}^{\dagger} C_{i, \alpha} Haldane项 HHal=t2∑<<i,j>>eiϕijCi†Cj=it2∑<<i,j>>νijCi†Cj⟶it2∑<<i,j>>,α,βνijCiα†Cjβszαβ \begin{aligned} H_{H a l}=&t_{2} \sum_{<<i, j>>} e^{i \phi_{i j}} C_{i}^{\dagger} C_{j} \\=& i t_{2} \sum_{<<i, j>>} \nu_{i j} C_{i}^{\dagger} C_{j} \\ \longrightarrow &i t_{2} \sum_{<<i, j>>, \alpha, \beta} \nu_{i j} C_{i \alpha}^{\dagger} C_{j \beta} s_{z}^{\alpha \beta} \end{aligned} 其中

  • νij=1\nu_{i j}=1 表示顺时针跃迁
  • νij=−1\nu_{i j}=-1 表示逆时针跃迁

Haldane项可以看成自旋轨道耦合项

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